证明x^3+x-1=0有且仅有一个正实根
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/15 12:28:27
如题
令f(x)=x^3+x-1
因为f(0)=-1<0 f(1)=1
所以在(0,1)之间必存在一个使f(x)=0的解!
所以原方程存在正实根!
下面证明该正实根的唯一性:(两种方法)
方法一:对f(x)求导,f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数,所以知道有且仅有一个实根且位于(0,1)之间
方法二:设该实根为X1 假设存在第二个正实根(或更多)设为X2
有X1^3+X1=X2^3+X2
化简得X1^2+X2^2+X1X2=0 因为X1>0,X2>0所以假设不成立。得证!
令f(x)=x^3+x-1...
x=0,f(0)=-1为负
x趋于正无穷时,f(x)为正
由连续性定理,f(x)=0必有解.
又因为f'(x)=3x^2+1>0.
故f(x)=0有且仅有一个正实根
令f(x)=x^3+x-1
对f(x)求导,f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数
因为f(0)=-1<0
所以x^3+x-1=0有且仅有一个正实根
f(0)=-1,f(1)=1,f'(x)=3x^2+1>0单调递增在0-1间一定有一正解,且仅有一个
证明x^3+x-1=0有且仅有一个正实根
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